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问道Brownian Motion问题

问道Brownian Motion问题

请问这道题怎么求?谢谢。
Let L = sup{ 0<t<1 : W(t) = 0} be the last zero of W on [0,1]. Find the probability density function of L. here W is standard Brownian Motion.

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great, thanks a  lot, buddy.

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最近在学c++,没事写程序模拟一下,出来好像有点问题阿,模拟结果和理论不一样。首选产生一个布朗运动,然后把w(t)接近于0的对应的最大t值记录下来。

[ 本帖最后由 luqi 于 2007-12-23 01:54 PM 编辑 ]
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这个问题是标准Brownian Motion Arcsine law, 答案是2/pi*arcsin(sqrt(t)),Luqi要不再模拟试一下?
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to矿工,谢谢你的pdf文件,这下对了,因为我看了上面的fyi.pdf文件里面的公式是1/pi/[s*sqrt(1-s)],我在想为什么brown运动会有上面图一的分布,因为brown运动离开原点的平均距离是和时间成正比的,所以,平均的来说不可能是一个两头大的分布,而因该是一个随着时间增加取原点的可能性越来越小的分布,因为时间月越长离开原点的距离越大,要返回原点也更困难。我只是直觉上觉得上面的公式奇怪,所以写个程序模拟一下,这下就对了,下面的理论图像和模拟的一致。

[ 本帖最后由 luqi 于 2007-12-23 01:56 PM 编辑 ]
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to 矿工,你给的pdf文件有点深奥阿!看来物理和数学背景的训练方法不一样。说来搞笑,我导师做研究的基本方法之一就是让学生先写出问题的计算程序,然后看了结果之后再去倒推推导过程。

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Please double check these two .pdf files...
Can't you see they coincide with each other? What is given in FYI.pfd is the PDF, and arcsinBM.pdf is the CDF.
Please note what you would obtain after differentiating 2/pi*arcsin(sqrt(s))  w.r.t "s"...

[ 本帖最后由 wisesummer 于 2007-12-24 12:15 AM 编辑 ]

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"首选产生一个布朗运动,然后把w(t)接近于0的对应的最大t值记录下来"???

"接近于0"??
It is fairly likely that the whole process of w(t) NEVER touches 0 at all, but in your setting, every simulated path has point t where "w(t)=0" (i.e. so called "接近于0").

Would you mind open you simulation codes?

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接近于0是因为计算机模拟的路径不可能正好等于o,因为模拟的路径不是连续的,所以要有一个判断,这里如果w(t)和0的距离的绝对值小于0。001,我就认为是零了。代码在下面,主要思想就是模拟5000条路径,然后把每条路径中使w(t)=0的最大t记录下来,放到一个计数的文件中。

int loop=0 ;                  
while (  loop <5000) {     // simulate 5000 times
         double mu = 1, r1 = 0, r2 = 0, time=0;
    r1 = gsl_ran_gaussian (r, mu);
    for (int i = 0; i < 1000; ++i) {
               r2 = r1+ gsl_ran_gaussian (r, mu);   // the brown path
               if ( fabs (r2- 0) < 0.001)  //judgement of zero point
                  time = i * 0.01      ;      
         r1 = r2;
         }
    if (time != 0)
    gsl_histogram_increment (h_evec,time); //record largest t make r(t)=0
    ++loop;
}

[ 本帖最后由 luqi 于 2007-12-24 12:45 AM 编辑 ]

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